Конечная математика Примеры

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ к $0$ .

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим $u^{2} - 2 u - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Вынесем множитель $x^{2} - 3$ из $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Этап 2.1.10

Умножим $3$ на $1$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

Этап 2.1.11

Изменим порядок членов.

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} - 3$ к $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 3$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{3}$

Этап 2.3.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2.4

Приравняем $3 x^{2} - 8 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x^{2} - 8 x + 3$ к $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 8$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ верно.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

Этап 4