Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{3} + 8$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{3} + 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.1.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Этап 3.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$