Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Этап 3

Поскольку $\frac{4}{5}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{4}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \int_{0}^{2} t^{3} d t + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{3}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Этап 5

Поскольку $- \frac{3}{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- \frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \int_{0}^{2} t^{2} d t + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{2}{5} t d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{2}{5}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{2}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \int_{0}^{2} t d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{2} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{4} t^{4}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{2} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{2}$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{1}{2} t^{2}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{4}{5} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{5} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{5} (4 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.5

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.6

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{5} (4 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.7

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot 4 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.9

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.13

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.14

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} (\frac{8}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.15

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$\frac{16}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.16

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{16}{5} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.17

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.18

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{16}{5} - \frac{24}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19

Сократим общий множитель $24$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.19.1

Вынесем множитель $12$ из $24$ .

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.19.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{5} - \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{5} - \frac{2}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.19.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{16}{5} - 1 \cdot 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.20

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{16}{5} - 2 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.21

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.22

Объединим $- 2$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.24.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$\frac{16 - 10}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.24.2

Вычтем $10$ из $16$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.25

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.26

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.27.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.27.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Этап 9.4.28

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 9.4.29

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 9.4.30

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} (2 + 0)$

Этап 9.4.31

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2}{5} \cdot 2$

Этап 9.4.32

Объединим $\frac{2}{5}$ и $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 2}{5}$

Этап 9.4.33

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6}{5} + \frac{4}{5}$

Этап 9.4.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 + 4}{5}$

Этап 9.4.35

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{10}{5}$

Этап 9.4.36

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.36.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5}$

Этап 9.4.36.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.36.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

Этап 9.4.36.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

Этап 9.4.36.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1}$

Этап 9.4.36.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10