Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Объединим противоположные члены в $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1.1

Изменим порядок множителей в членах $e^{x} \cos (x)$ и $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4.1.2

Вычтем $e^{x} \cos (x)$ из $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4.1.3

Добавим $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ и $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4.3

Вычтем $\sin (x) e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.4.3.2

Вычтем $e^{x} \sin (x)$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

Этап 3.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 3.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 3.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

Этап 3.6.5.2.4

Разделим $- 2 e^{- x} \sin (x)$ на $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$