Математический анализ Примеры

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 x - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $4 x - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$4 u - u^{2} = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $u$ из $4 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

Этап 1.2.1.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (4 - x) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

Этап 4.7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

Этап 4.8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

Этап 4.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 4.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

Этап 4.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.2.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.4

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.5

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.7.1

Умножим $9$ на $3$ .

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.7.2

Вычтем $1$ из $27$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 4.9.2.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 4.9.2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

Этап 4.9.2.3.11

Вычтем $1$ из $9$ .

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

Этап 4.9.2.3.12

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

Этап 4.9.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Этап 4.9.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.9.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

Этап 4.9.2.3.12.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

Этап 4.9.2.3.13

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{26}{3} + 16$

Этап 4.9.2.3.14

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.9.2.3.15

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

Этап 4.9.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.3.17.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{- 26 + 48}{3}$

Этап 4.9.2.3.17.2

Добавим $- 26$ и $48$ .

$\frac{22}{3}$

Этап 5