Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2}$ , $y = x^{3}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x^{2} = x^{3}$

Этап 1.2

Решим $2 x^{2} = x^{3}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - x^{3} = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} \cdot 2 - x^{3} = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{3}$ .

$x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- x)$ .

$x^{2} (2 - x) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0 + y = x^{3}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = {(0)}^{3}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = {(0)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{3}$

Этап 1.3.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = {(2)}^{3}$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = {(2)}^{3}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2^{3}$

Этап 1.4.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y = 8$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(2, 8)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} 2 x^{2} d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - (x^{3}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} - x^{3} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $2$ и в $0$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{8}{3} - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{8}{3} + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.5

Добавим $\frac{8}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{8}{3}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.6

Объединим $2$ и $\frac{8}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.7

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.8

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.9

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.9.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.9.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Этап 3.9.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{4})$

Этап 3.9.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 3.9.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{3} - (4 - \frac{0}{1})$

Этап 3.9.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{16}{3} - (4 - 0)$

Этап 3.9.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{16}{3} - (4 + 0)$

Этап 3.9.2.3.13

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{16}{3} - 1 \cdot 4$

Этап 3.9.2.3.14

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{16}{3} - 4$

Этап 3.9.2.3.15

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.9.2.3.16

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 3.9.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 3.9.2.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.18.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{16 - 12}{3}$

Этап 3.9.2.3.18.2

Вычтем $12$ из $16$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 4