Математический анализ Примеры

$y = \ln (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\cos (x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sec (x) (- \sin (x))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок множителей в $\sec (x) (- \sin (x))$ .

$- \sec (x) \sin (x)$

Этап 3.4.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 3.4.3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.4.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \tan (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \tan (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan (x)$