Математический анализ Примеры

$\tan (x)$

Этап 1

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 2.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 3.4

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 3.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)])$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 3.8

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.9

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

Этап 3.12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)))$

Этап 3.13

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)))$

Этап 3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Этап 3.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Этап 3.16.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$