Математический анализ Примеры

$x e^{x}$

Этап 1

Запишем $x e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 2.1.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Этап 3.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = x e^{x}$ в интервале $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Этап 6.2.1.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Этап 6.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Этап 6.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- \frac{1}{e^{2}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Этап 7.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 7.3

При $x = 0$ производная имеет вид $1$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 1)$

Этап 9