Математический анализ Примеры

$y = f (x)$

Этап 1

Запишем $y = f (x)$ в виде функции.

$f (x) = f (x)$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $f (x)$ равна $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Этап 3.2

Поскольку $f$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{f}{x}$ по $x$ равна $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.2

Объединим $f$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $f (x)$ равна $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{d f}{d x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f}{x} = 0$

Этап 6.3

Умножим обе части уравнения на $x$ .

$f = x (0)$

Этап 6.4

Перепишем уравнение в виде $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $0$ .

$0 = f$

Этап 6.6

Перепишем $0 = f$ так, чтобы выражение $f$ находилось в левой части.

$f = 0$

Этап 6.7

Переменная $x$ исключена.

Все вещественные числа

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{d f}{d x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$d x = 0$

Этап 7.2

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $d$ на $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим $0$ на $x$ .

$d = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $l$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.2

Возведем $l$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.5

Возведем $l$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.7

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Этап 10.1.8

Возведем $e$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Этап 10.1.9

Возведем $e$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Этап 10.1.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Этап 10.1.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Этап 10.1.12

Возведем $r$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Этап 10.1.13

Возведем $r$ в степень $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Этап 10.1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Этап 10.1.15

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.2

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.3

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.4

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.5

Применим правило умножения к $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.6

Применим правило умножения к $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.7

Применим правило умножения к $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.3.8

Применим правило умножения к $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.4

Перемножим экспоненты в ${(l^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.5

Перемножим экспоненты в ${(e^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Этап 10.6

Перемножим экспоненты в ${(r^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Этап 10.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Этап 11

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 12