Математический анализ Примеры

h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}

$h (w) = \frac{5 w^{6} - w}{w}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что

\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]

$\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ имеет вид

\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}

$\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ , где

f (w) = 5 w^{6} - w

$f (w) = 5 w^{6} - w$ и

g (w) = w

$g (w) = w$ .

\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w \frac{d}{d w} [5 w^{6} - w] - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная

5 w^{6} - w

$5 w^{6} - w$ по

w

$w$ имеет вид

\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (\frac{d}{d w} [5 w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3

Найдем значение

\frac{d}{d w} [5 w^{6}]

$\frac{d}{d w} [5 w^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку

5

$5$ является константой относительно

w

$w$ , производная

5 w^{6}

$5 w^{6}$ по

w

$w$ равна

5 \frac{d}{d w} [w^{6}]

$5 \frac{d}{d w} [w^{6}]$ .

\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 \frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ , где

n = 6

$n = 6$ .

\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (5 (6 w^{5}) + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.3

Умножим

6

$6$ на

5

$5$ .

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 4

Найдем значение

\frac{d}{d w} [- w]

$\frac{d}{d w} [- w]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

w

$w$ , производная

- w

$- w$ по

w

$w$ равна

- \frac{d}{d w} [w]

$- \frac{d}{d w} [w]$ .

\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1 \cdot 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 4.3

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d w} [w^{n}]

$\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид

n w^{n - 1}

$n w^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5} - 1) - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- (5 w^{6}) - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{w (30 w^{5}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.2

Умножим

w

$w$ на

w^{5}

$w^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Перенесем

w^{5}

$w^{5}$ .

\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.2.2

Умножим

w^{5}

$w^{5}$ на

w

$w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.2.1

Возведем

w

$w$ в степень

1

$1$ .

\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}

$\frac{30 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.2.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{30 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.2.3

Добавим

$5$ и

$1$ .

$\frac{30 w^{6} + w \cdot - 1 - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.3

Перенесем

$- 1$ влево от

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 1 \cdot w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.4

Перепишем

$- 1 w$ в виде

$- w$ .

$\frac{30 w^{6} - w - (5 w^{6}) \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.5

Умножим

$5$ на

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.6

Умножим

$- 5$ на

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.7

Умножим

$- - w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.7.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.7.2

Умножим

$w$ на

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 6.4.1.8

Умножим

$w$ на

$1$ .

$\frac{30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w}{w^{2}}$

Этап 6.4.2

Объединим противоположные члены в

$30 w^{6} - w - 5 w^{6} + w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Добавим

$- w$ и

$w$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6} + 0}{w^{2}}$

Этап 6.4.2.2

Добавим

$30 w^{6} - 5 w^{6}$ и

$0$ .

$\frac{30 w^{6} - 5 w^{6}}{w^{2}}$

Этап 6.4.3

Вычтем

$5 w^{6}$ из

$30 w^{6}$ .

$\frac{25 w^{6}}{w^{2}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель

$w^{6}$ и

$w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель

$w^{2}$ из

$25 w^{6}$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим на

$1$ .

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{w^{2} (25 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25 w^{4}}{1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим

$25 w^{4}$ на

$1$ .

$25 w^{4}$