Математический анализ Примеры

$y = x + \sin (x)$

Этап 1

Запишем $y = x + \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = x + \sin (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Этап 3.3

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 + \cos (x) = 0$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 9

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 10

Решение уравнения $x = π$ .

$x = π, π$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (π)$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \sin (0)$

Этап 12.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 0$

Этап 12.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 13

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Этап 13.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, π)$ в первую производную $1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Этап 13.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Этап 13.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (0) = 2$

Этап 13.2.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 13.3

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(π, \infty)$ в первую производную $1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Этап 13.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Найдем значение $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Этап 13.3.2.2

Добавим $1$ и $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Этап 13.3.2.3

Окончательный ответ: $1.96017028$ .

$1.96017028$

Этап 13.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = π$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 13.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x + \sin (x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 14