Математический анализ Примеры

y = x + sin (x)

$y = x + \sin (x)$

Этап 1

Запишем

y = x + sin (x)

$y = x + \sin (x)$ в виде функции.

f (x) = x + sin (x)

$f (x) = x + \sin (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная

x + sin (x)

$x + \sin (x)$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [sin (x)]

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

1 + \frac{d}{d x} [sin (x)]

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Производная

sin (x)

$\sin (x)$ по

x

$x$ равна

cos (x)

$\cos (x)$ .

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$ по

x

$x$ имеет вид

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку

$1$ является константой относительно

$x$ , производная

$1$ относительно

$x$ равна

$0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.2

Производная

$\cos (x)$ по

$x$ равна

$- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Этап 3.3

Вычтем

$\sin (x)$ из

$0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к

$0$ и решим полученное уравнение.

$1 + \cos (x) = 0$

Этап 5

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение

$\arccos (- 1)$ :

$π$ .

$x = π$

Этап 8

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из

$2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 9

Вычтем

$π$ из

$2 π$ .

$x = π$

Этап 10

Решение уравнения

$x = π$ .

$x = π, π$

Этап 11

Найдем вторую производную в

$x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (π)$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \sin (0)$

Этап 12.2

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$- 0$

Этап 12.3

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$0$

Этап 13

Поскольку есть по крайней мере одна точка с

$0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Разобьем

$(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений

$x$ , при которых первая производная равна

$0$ или не определена.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Этап 13.2

Подставим любое число такое, что

$0$ , из интервала

$(- \infty, π)$ в первую производную

$1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Этап 13.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Этап 13.2.2.2

Добавим

$1$ и

$1$ .

$f' (0) = 2$

Этап 13.2.2.3

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 13.3

Подставим любое число такое, что

$6$ , из интервала

$(π, \infty)$ в первую производную

$1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$6$ .

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Этап 13.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Найдем значение

$\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Этап 13.3.2.2

Добавим

$1$ и

$0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Этап 13.3.2.3

Окончательный ответ:

$1.96017028$ .

$1.96017028$

Этап 13.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности

$x = π$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 13.5

Локальный минимум или минимум для

$f (x) = x + \sin (x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 14