Математический анализ Примеры

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

Этап 1

Используем формулу половинного угла для записи

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ в виде

\frac{1 - \cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Этап 5

Поскольку

- 1

$- 1$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

- 1

$- 1$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Этап 6

Пусть

u = 2 x

$u = 2 x$ . Тогда

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , следовательно

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть

u = 2 x

$u = 2 x$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

x

$x$ , производная

2 x

$2 x$ по

x

$x$ равна

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 7

Объединим

\cos (u)

$\cos (u)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 8

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 9

Интеграл

\cos (u)

$\cos (u)$ по

u

$u$ имеет вид

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 10

Упростим.

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения

u

$u$ на

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим

\sin (2 x)

$\sin (2 x)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 12.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

x

$x$ .

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 12.4

Умножим

\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

\frac{\sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 12.4.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$