Математический анализ Примеры

\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле

\frac{a}{1 - r}

$\frac{a}{1 - r}$ , где

a

$a$ — первый член, а

r

$r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу

r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

$r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим

a_{n}

$a_{n}$ и

a_{n + 1}

$a_{n + 1}$ в формулу для

r

$r$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ и

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ из

{(\frac{1}{2})}^{n + 1}

${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на

1

$1$ .

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

r = \frac{\frac{1}{2}}{1}

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

1

$1$ .

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Этап 3

Since

| r | < 1

$| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим

0

$0$ вместо

n

$n$ в

{(\frac{1}{2})}^{n}

${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

a = {(\frac{1}{2})}^{0}

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a = \frac{1^{0}}{2^{0}}

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 4.2.2

Любое число в степени

0

$0$ равно

1

$1$ .

a = \frac{1}{2^{0}}

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени

0

$0$ равно

1

$1$ .

a = \frac{1}{1}

$a = \frac{1}{1}$

Этап 4.2.4

Разделим

1

$1$ на

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем

1

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 6.1.3

Вычтем

1

$1$ из

2

$2$ .

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

\frac{1}{\frac{1}{2}}

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

1 \cdot 2

$1 \cdot 2$

Этап 6.3

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$