Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ и ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель ${(\frac{1}{2})}^{n}$ из ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $n$ в ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Этап 4.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Этап 4.2.4

Разделим $1$ на $1$ .

$a = 1$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Этап 6.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \cdot 2$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$