Математический анализ Примеры

lim_{x \to - \infty} x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Этап 1

Перепишем

x e^{x}

$x e^{x}$ в виде

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Этап 2.1.2

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен минус бесконечности.

\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Этап 2.1.3

Поскольку показатель степени

- x

$- x$ стремится к

\infty

$\infty$ , величина

e^{- x}

$e^{- x}$ стремится к

\infty

$\infty$ .

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ и

g (x) = - x

$g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , где

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

x

$x$ , производная

- x

$- x$ по

x

$x$ равна

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Этап 2.3.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Этап 2.3.7

Перенесем

- 1

$- 1$ влево от

e^{- x}

$e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Этап 2.3.8

Перепишем

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ в виде

- e^{- x}

$- e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель

1

$1$ и

- 1

$- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем

1

$1$ в виде

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Этап 2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Этап 3

Вынесем член

- 1

$- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от

x

$x$ .

- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

\frac{1}{e^{- x}}

$\frac{1}{e^{- x}}$ стремится к

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Этап 5

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

0

$0$