Математический анализ Примеры

$\cos (2 θ)$

Этап 1

Пусть $u = 2 θ$ . Тогда $d u = 2 d θ$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 θ$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 θ$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 θ) + C$