Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 7

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{\sin (x)} + C$

Этап 9

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \csc (x) + C$