Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (θ)$

Этап 1

Запишем $\sin^{2} (θ)$ в виде функции.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Этап 4

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (θ)$ в виде $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Этап 9

Пусть $u = 2 θ$ . Тогда $d u = 2 d θ$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 2 θ$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 θ$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Этап 12

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 13

Упростим.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\sin (2 θ)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Этап 15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Этап 15.4

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 15.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$