Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Этап 1.3

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{x^{2}} x}$

Этап 3.5.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 x e^{x^{2}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{2 x e^{x^{2}}}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x)}{x (2 e^{x^{2}})}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{2 e^{x^{2}}}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{3}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Этап 5.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Этап 5.1.3

Поскольку показатель степени $x^{2}$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x^{2}}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Этап 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Этап 5.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.3.2

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \cdot 2 x}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Этап 5.3.5.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ стремится к $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Этап 8.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Этап 8.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $0$ .

$0$