Математический анализ Примеры

$x = \cot (y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \csc^{2} (y) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \csc^{2} (y) y' = 1$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \csc^{2} (y) y' = 1$ на $- \csc^{2} (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \csc^{2} (y) y' = 1$ на $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $\csc^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{\csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (y)}$ в виде ${(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\csc (y)})}^{2}$

Этап 5.2.3.4

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}})}^{2}$

Этап 5.2.3.5

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(1 \sin (y))}^{2}$

Этап 5.2.3.6

Умножим $\sin (y)$ на $1$ .

$y' = - \sin^{2} (y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (y)$