Математический анализ Примеры

$f (x) = 14 x {(x - 1)}^{3}$

Этап 1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x {(x - 1)}^{3}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$14 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим ${(x - 1)}^{3}$ на $1$ .

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x (3 {(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $14$ .

$42 (x ({(x - 1)}^{2})) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $14 {(x - 1)}^{2}$ из $42 x {(x - 1)}^{2} + 14 {(x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $14 {(x - 1)}^{2}$ из $42 x {(x - 1)}^{2}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $14 {(x - 1)}^{2}$ из $14 {(x - 1)}^{3}$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $14 {(x - 1)}^{2}$ из $14 {(x - 1)}^{2} (3 x) + 14 {(x - 1)}^{2} (x - 1)$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (3 x + x - 1)$

Этап 5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$14 {(x - 1)}^{2} (4 x - 1)$

Этап 5.5

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$14 ((x - 1) (x - 1)) (4 x - 1)$

Этап 5.6

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (4 x - 1)$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$14 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$14 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$14 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$14 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$14 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 (x^{2} - x - x + 1) (4 x - 1)$

Этап 5.7.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$14 (x^{2} - 2 x + 1) (4 x - 1)$

Этап 5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(14 x^{2} + 14 (- 2 x) + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Этап 5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $- 2$ на $14$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14 \cdot 1) (4 x - 1)$

Этап 5.9.2

Умножим $14$ на $1$ .

$(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$

Этап 5.10

Развернем $(14 x^{2} - 28 x + 14) (4 x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$14 x^{2} (4 x) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$14 \cdot 4 x^{2} x + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$14 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$14 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 \cdot 4 x^{1 + 2} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$14 \cdot 4 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.3

Умножим $14$ на $4$ .

$56 x^{3} + 14 x^{2} \cdot - 1 - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.4

Умножим $- 1$ на $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 x (4 x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x \cdot x - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 (x \cdot x) - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 28 \cdot 4 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.7

Умножим $- 28$ на $4$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} - 28 x \cdot - 1 + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.8

Умножим $- 1$ на $- 28$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 14 (4 x) + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.9

Умножим $4$ на $14$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x + 14 \cdot - 1$

Этап 5.11.10

Умножим $14$ на $- 1$ .

$56 x^{3} - 14 x^{2} - 112 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Этап 5.12

Вычтем $112 x^{2}$ из $- 14 x^{2}$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 28 x + 56 x - 14$

Этап 5.13

Добавим $28 x$ и $56 x$ .

$56 x^{3} - 126 x^{2} + 84 x - 14$