Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3}$ , $[0, 1]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 1]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x^{3} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $1$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Этап 6.2.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4})$

Этап 6.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0)$

Этап 6.2.4

Умножим $0$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}))$

Этап 6.2.5

Умножим $0$ на $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4} + 0)$

Этап 6.2.6

Добавим $\frac{1}{4}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{1}{4})$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 7.2

Добавим $1$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.1.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{4}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4}$

Этап 9