Математический анализ Примеры

lim x \to \infty x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

Этап 1

Перепишем

x e^{- x}

$x e^{- x}$ в виде

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

\frac{lim x \to \infty x}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 2.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Этап 2.1.3

Поскольку показатель степени

x

$x$ стремится к

\infty

$\infty$ , величина

e^{x}

$e^{x}$ стремится к

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2.2

Поскольку

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид

$a^{x} \ln (a)$ , где

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

$\frac{1}{e^{x}}$ стремится к

$0$ .

$0$