Математический анализ Примеры

lim h \to 0 \frac{cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

\frac{lim h \to 0 cos (h) - 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

h

$h$ к

0

$0$ .

\frac{lim h \to 0 cos (h) - lim h \to 0 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

\frac{cos (lim h \to 0 h) - lim h \to 0 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел

1

$1$ , который является константой по мере приближения

h

$h$ к

0

$0$ .

\frac{cos (lim h \to 0 h) - 1 \cdot 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{cos (lim h \to 0 h) - 1 \cdot 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел

h

$h$ , подставив значение

0

$0$ для

h

$h$ .

\frac{cos (0) - 1 \cdot 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Точное значение

cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

\frac{1 - 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim h \to 0 h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

\frac{0}{lim h \to 0 h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim h \to 0 h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim h \to 0 h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел

h

$h$ , подставив значение

0

$0$ для

h

$h$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на

0

$0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim h \to 0 \frac{cos (h) - 1}{h} = lim h \to 0 \frac{\frac{d}{d h} [cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

lim h \to 0 \frac{\frac{d}{d h} [cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная

cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ по

h

$h$ имеет вид

\frac{d}{d h} [cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

lim h \to 0 \frac{\frac{d}{d h} [cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Производная

cos (h)

$\cos (h)$ по

h

$h$ равна

- sin (h)

$- \sin (h)$ .

lim h \to 0 \frac{- sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку

- 1

$- 1$ является константой относительно

h

$h$ , производная

- 1

$- 1$ относительно

h

$h$ равна

0

$0$ .

lim h \to 0 \frac{- sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим

- sin (h)

$- \sin (h)$ и

0

$0$ .

lim h \to 0 \frac{- sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

lim h \to 0 \frac{- sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim h \to 0 \frac{- sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

Этап 1.4

Разделим

- sin (h)

$- \sin (h)$ на

1

$1$ .

lim h \to 0 - sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim h \to 0 - sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член

- 1

$- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от

h

$h$ .

- lim h \to 0 sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

- sin (lim h \to 0 h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- sin (lim h \to 0 h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

Этап 3

Найдем предел

h

$h$ , подставив значение

0

$0$ для

h

$h$ .

- sin (0)

$- \sin (0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение

sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Этап 4.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$