Математический анализ Примеры

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Этап 1.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Этап 1.1.3

Поскольку показатель степени

$n$ стремится к

$\infty$ , величина

$2^{n}$ стремится к

$\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.2

Поскольку

$\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ имеет вид

$n \cdot n^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ имеет вид

$a^{n} \ln (a)$ , где

$a$ =

$2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Этап 2

Вынесем член

$\frac{1}{\ln (2)}$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$n$ .

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь

$\frac{1}{2^{n}}$ стремится к

$0$ .

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Этап 4

Умножим

$\frac{1}{\ln (2)}$ на

$0$ .

$0$