Математический анализ Примеры

$\frac{\tan (6 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 1

Выразим $\tan (6 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (2 x)}$ в виде произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}]$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переведем $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ в $\tan (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \frac{1}{\sin (2 x)}]$

Этап 3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (6 x) \csc (2 x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (6 x)$ и $g (x) = \csc (2 x)$ .

$\tan (6 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\tan (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 5.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\tan (6 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\tan (6 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 6.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (6 x)]$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 7.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (\sec^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) (6 \cdot 1)$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) \sec^{2} (6 x) \cdot 6$

Этап 8.3.2

Перенесем $6$ влево от $\csc (2 x) \sec^{2} (6 x)$ .

$\tan (6 x) (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + 6 \cdot (\csc (2 x) \sec^{2} (6 x))$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x) \tan (6 x) + 6 \sec^{2} (6 x) \csc (2 x)$