Математический анализ Примеры

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Этап 1

Развернем ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 - \cos (x))}^{2}$ в виде $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 1.5

Перенесем $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Этап 1.6

Перенесем $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.11

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 1.12

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Этап 1.13

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Этап 1.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 1.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 1.16

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 4

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 6

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 10

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 10.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 11

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 13

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 14

Упростим.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Этап 16.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 16.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$