Математический анализ Примеры

\int \cos^{2} (y) d y

$\int \cos^{2} (y) d y$

Этап 1

Используем формулу половинного угла для записи

\cos^{2} (y)

$\cos^{2} (y)$ в виде

\frac{1 + \cos (2 y)}{2}

$\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y

$\int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Этап 2

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

y

$y$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Этап 5

Пусть

u = 2 y

$u = 2 y$ . Тогда

d u = 2 d y

$d u = 2 d y$ , следовательно

\frac{1}{2} d u = d y

$\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть

u = 2 y

$u = 2 y$ . Найдем

\frac{d u}{d y}

$\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d y} [2 y]

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 5.1.2

Поскольку

2

$2$ является константой относительно

y

$y$ , производная

2 y

$2 y$ по

y

$y$ равна

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$ .

2 \frac{d}{d y} [y]

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d y} [y^{n}]

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид

n y^{n - 1}

$n y^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 6

Объединим

\cos (u)

$\cos (u)$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 7

Поскольку

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 8

Интеграл

\cos (u)

$\cos (u)$ по

u

$u$ имеет вид

\sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 9

Упростим.

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения

u

$u$ на

2 y

$2 y$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

\sin (2 y)

$\sin (2 y)$ .

\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Этап 11.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

y

$y$ .

\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Этап 11.4

Умножим

\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ на

\frac{\sin (2 y)}{2}

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 11.4.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C

$\frac{y}{2} + \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$