Математический анализ Примеры

$\int y e^{x y} d x$

Этап 1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$y \int e^{x y} d x$

Этап 2

Пусть $u = x y$ . Тогда $d u = y d x$ , следовательно $\frac{1}{y} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x y$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$y$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y \int e^{u} \frac{1}{y} d u$

Этап 3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{y}$ .

$y \int \frac{e^{u}}{y} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$y (\frac{1}{y} \int e^{u} d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $y$ .

$\frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y} \int e^{u} d u$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int e^{u} d u$

Этап 5.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$e^{x y} + C$