Математический анализ Примеры

\int 4 cos (2 x) d x

$\int 4 \cos (2 x) d x$

Этап 1

Поскольку

4

$4$ — константа по отношению к

x

$x$ , вынесем

4

$4$ из-под знака интеграла.

4 \int cos (2 x) d x

$4 \int \cos (2 x) d x$

Этап 2

Пусть

u = 2 x

$u = 2 x$ . Тогда

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , следовательно

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть

u = 2 x

$u = 2 x$ . Найдем

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку

$2$ является константой относительно

$x$ , производная

$2 x$ по

$x$ равна

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид

$n x^{n - 1}$ , где

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим

$2$ на

$1$ .

$2$

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью

$u$ и

$d u$ .

$4 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

$4 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим

$\cos (u)$ и

$\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 4

Поскольку

$\frac{1}{2}$ — константа по отношению к

$u$ , вынесем

$\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$4$ .

$\frac{4}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 5.2

Сократим общий множитель

$4$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \cos (u) d u$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int \cos (u) d u$

Этап 5.2.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

$2 \int \cos (u) d u$

Этап 6

Интеграл

$\cos (u)$ по

$u$ имеет вид

$\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Этап 7

Упростим.

$2 \sin (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения

$u$ на

$2 x$ .

$2 \sin (2 x) + C$

$\int_{}^{} 4 \cos (2 x) d x$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$