Математический анализ Примеры

\int \sin (3 t) d t

$\int \sin (3 t) d t$

Этап 1

Пусть

u = 3 t

$u = 3 t$ . Тогда

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ , следовательно

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя

u

$u$ и

d

$d$

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть

u = 3 t

$u = 3 t$ . Найдем

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем

3 t

$3 t$ .

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.1.2

Поскольку

3

$3$ является константой относительно

t

$t$ , производная

3 t

$3 t$ по

t

$t$ равна

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ .

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ , где

n = 1

$n = 1$ .

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим

3

$3$ на

1

$1$ .

3

$3$

3

$3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью

u

$u$ и

d u

$d u$ .

\int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим

\sin (u)

$\sin (u)$ и

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

\int \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 3

Поскольку

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ — константа по отношению к

u

$u$ , вынесем

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

\frac{1}{3} \int \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Этап 4

Интеграл

\sin (u)

$\sin (u)$ по

u

$u$ имеет вид

- \cos (u)

$- \cos (u)$ .

\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C

$\frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Этап 5.2

Объединим

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ и

\cos (u)

$\cos (u)$ .

- \frac{\cos (u)}{3} + C

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

- \frac{\cos (u)}{3} + C

$- \frac{\cos (u)}{3} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения

u

$u$ на

3 t

$3 t$ .

- \frac{\cos (3 t)}{3} + C

$- \frac{\cos (3 t)}{3} + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

- \frac{1}{3} \cos (3 t) + C

$- \frac{1}{3} \cos (3 t) + C$

\int_{}^{} \sin (3 t) d t

$\int_{}^{} \sin (3 t) d t$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





∫

∫













7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞





!

!



,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$