Математический анализ Примеры

$\int \sin (2 x) \sec^{5} (2 x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\int \sin (2 x) {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{5} d x$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\int \sin (2 x) \frac{1^{5}}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Этап 1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\int \sin (2 x) \frac{1}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Этап 1.4

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{\cos^{5} (2 x)}$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{5} (2 x)} d x$

Этап 1.5

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{5} (2 x)$ .

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{4} (2 x)} d x$

Этап 1.6

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Этап 1.7

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (2 x)} \tan (2 x) d x$

Этап 1.8

Объединим $\frac{1}{\cos^{4} (2 x)}$ и $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{4} (2 x)} d x$

Этап 1.9

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{4} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{3} (2 x)} d x$

Этап 1.10

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Этап 1.11

Выразим $\tan (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Этап 1.12

Перепишем $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Этап 1.13.2

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.14

Умножим $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Объединим $\tan (2 x)$ и $\frac{1}{\cos^{3} (2 x)}$ .

$\int \frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} \sec (2 x) d x$

Этап 1.14.2

Объединим $\frac{\tan (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}$ и $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} d x$

Этап 1.15

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{3} (2 x)$ .

$\int \frac{\tan (2 x) \sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos^{2} (2 x)} d x$

Этап 1.16

Разделим дроби.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\tan (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Этап 1.17

Выразим $\tan (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} d x$

Этап 1.18

Перепишем $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Этап 1.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.19.1

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) d x$

Этап 1.19.2

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.20

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{2} (2 x)$ .

$\int \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.21

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sec (2 x)}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.22

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.23

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (2 x)}}{\cos (2 x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\frac{1}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.24.1

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)}) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24.2

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24.3

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24.4

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.24.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \sec (2 x)) d x$

Этап 1.25

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.25.1

Перенесем $\sec (2 x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Этап 1.25.2

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.25.2.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x) d x$

Этап 1.25.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x) d x$

Этап 1.25.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\cos (2 x)} \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 1.26

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 1.27

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{3} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.27.1

Умножим $\sec (2 x)$ на $\sec^{3} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.27.1.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (2 x) \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 1.27.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (2 x)}^{1 + 3} \tan (2 x) d x$

Этап 1.27.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\int \sec^{4} (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = \sec (2 x)$ . Тогда $d u_{2} = 2 \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec (2 x) \tan (2 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = \sec (2 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Этап 2.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3

Объединим ${u_{2}}^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{3}}{2} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{3}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{4} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{8} \sec^{4} (2 x) + C$