Математический анализ Примеры

$\int \sin (x) \sec^{8} (x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{8} d x$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\int \sin (x) \frac{1^{8}}{\cos^{8} (x)} d x$

Этап 1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\int \sin (x) \frac{1}{\cos^{8} (x)} d x$

Этап 1.4

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos^{8} (x)}$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{8} (x)} d x$

Этап 1.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{8} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos^{7} (x)} d x$

Этап 1.6

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 1.7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{7} (x)} \tan (x) d x$

Этап 1.8

Объединим $\frac{1}{\cos^{7} (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{7} (x)} d x$

Этап 1.9

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{7} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos (x) \cos^{6} (x)} d x$

Этап 1.10

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 1.11

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Этап 1.12

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.13.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.14

Умножим $\frac{1}{\cos^{6} (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Объединим $\tan (x)$ и $\frac{1}{\cos^{6} (x)}$ .

$\int \frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)} \sec (x) d x$

Этап 1.14.2

Объединим $\frac{\tan (x)}{\cos^{6} (x)}$ и $\sec (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos^{6} (x)} d x$

Этап 1.15

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{6} (x)$ .

$\int \frac{\tan (x) \sec (x)}{\cos (x) \cos^{5} (x)} d x$

Этап 1.16

Разделим дроби.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 1.17

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} d x$

Этап 1.18

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.19.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) d x$

Этап 1.19.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos^{5} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.20

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{5} (x)$ .

$\int \frac{\sec (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.21

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.22

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.23

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.24.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \frac{1}{\cos (x)}) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 1} (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.24.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{2} (x) (\tan (x) \sec (x)) d x$

Этап 1.25

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.25.1

Перенесем $\sec (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Этап 1.25.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.25.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Этап 1.25.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) d x$

Этап 1.25.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\cos^{4} (x)} \sec^{3} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.26

Объединим $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ и $\sec^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{4} (x)} \tan (x) d x$

Этап 1.27

Вынесем множитель $\cos^{3} (x)$ из $\cos^{4} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x) \cos (x)} \tan (x) d x$

Этап 1.28

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sec^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \tan (x) d x$

Этап 1.29

Добавим $3$ и $3$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.30

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.31

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{6} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.31.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{6} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.31.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Этап 1.31.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sec (x)}^{1 + 6} \tan (x) d x$

Этап 1.31.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\int \sec^{7} (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{6}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$