Математический анализ Примеры

$\int \sin (x) \sqrt{2 + 3 \cos (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Тогда $d u = - 3 \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 + 3 \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.4

Вычтем $3 \sin (x)$ из $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{2}{9} {(2 + 3 \cos (x))}^{\frac{3}{2}} + C$