Математический анализ Примеры

$\int \sec (3 t) \tan (3 t) d t$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sec (3 t)$ . Тогда $d u_{2} = 3 \sec (3 t) \tan (3 t) d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 t) \tan (3 t) d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sec (3 t)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sec (3 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (3 t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sec (t)$ и $g (t) = 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t$ .

$\sec (3 t) \tan (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec (3 t) \tan (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (3 t) \tan (3 t) (3 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec (3 t) \tan (3 t) \cdot 3$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sec (3 t) \tan (3 t)$ .

$3 \sec (3 t) \tan (3 t)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (3 t)$ .

$\frac{1}{3} \sec (3 t) + C$