Математический анализ Примеры

$\int \sec (x) (5 \sec (x) + 3 \tan (x)) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sec (x) (5 \sec (x)) + \sec (x) (3 \tan (x)) d x$

Этап 1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int 5 \sec (x) \sec (x) + \sec (x) (3 \tan (x)) d x$

Этап 1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int 5 \sec (x) \sec (x) + 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1.4

Умножим $5 \sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1.4.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\int 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) + 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 {\sec (x)}^{1 + 1} + 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 5 \sec^{2} (x) + 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 \sec^{2} (x) d x + \int 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sec^{2} (x) d x + \int 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x) + C) + \int 3 \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$5 (\tan (x) + C) + 3 \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$5 (\tan (x) + C) + 3 (\sec (x) + C)$

Этап 7

Упростим.

$5 \tan (x) + 3 \sec (x) + C$