Математический анализ Примеры

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{x}{6}$ . Тогда $d u = \frac{1}{6} d x$ , следовательно $6 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{x}{6}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Этап 1.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 1.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Этап 2.2

Умножим $6$ на $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Этап 2.3

Перенесем $6$ влево от $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Этап 3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (u)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 8

Объединим $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ и $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 9

Найдем значение $- u - \cot (u)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Этап 10.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{6})$ : $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 10.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 10.4

Добавим $- \frac{π}{2}$ и $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 10.5

Чтобы записать $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Этап 10.6

Объединим $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Этап 10.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Этап 10.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Этап 10.9

Объединим $6$ и $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Этап 10.10

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Вынесем множитель $2$ из $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Этап 10.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Этап 10.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Этап 10.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Этап 10.10.2.4

Разделим $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ на $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.2.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.2.5

Перепишем это выражение.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Этап 11.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.5

Умножим $- - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.5.2

Умножим $\frac{π}{3}$ на $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.6

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.7

Объединим $- π$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.10

Добавим $- 3 π$ и $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Этап 11.12

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Этап 11.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 π}{3}$ в числитель.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Этап 11.13.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Этап 11.13.3

Перепишем это выражение.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Этап 11.14

Умножим $2$ на $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$4.10911953 \dots$