Математический анализ Примеры

$\int_{π}^{2 π} x \sin (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - \int_{π}^{2 π} - \cos (x) d x$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} - - \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + 1 \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 3.2

Умножим $\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \int_{π}^{2 π} \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{π}^{2 π} + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x (- \cos (x))]_{π}^{2 π}$ и $\sin (x)]_{π}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{π}^{2 π}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ в $2 π$ и в $π$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 π + 0 - (π (- \cos (π)) + \sin (π))$

Этап 6.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 π + 0 - (π (- - \cos (0)) + \sin (π))$

Этап 6.1.6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- (- 1 \cdot 1)) + \sin (π))$

Этап 6.1.6.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 π + 0 - (π (- - 1) + \sin (π))$

Этап 6.1.6.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 π + 0 - (π \cdot 1 + \sin (π))$

Этап 6.1.6.4

Умножим $π$ на $1$ .

$- 2 π + 0 - (π + \sin (π))$

Этап 6.1.6.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 π + 0 - (π + \sin (0))$

Этап 6.1.6.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 π + 0 - (π + 0)$

Этап 6.1.7

Добавим $π$ и $0$ .

$- 2 π + 0 - π$

Этап 6.2

Добавим $- 2 π$ и $0$ .

$- 2 π - π$

Этап 6.3

Вычтем $π$ из $- 2 π$ .

$- 3 π$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 3 π$

Десятичная форма:

$- 9.42477796 \dots$