Математический анализ Примеры

$\int x \cos (e x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (e x)$ .

$x (\frac{1}{e} \sin (e x)) - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{e}$ и $\sin (e x)$ .

$x \frac{\sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (e x)}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \int \frac{1}{e} \sin (e x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{e}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{e}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - (\frac{1}{e} \int \sin (e x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = e x$ . Тогда $d u = e d x$ , следовательно $\frac{1}{e} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = e x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $e x$ .

$\frac{d}{d x} [e x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $e x$ по $x$ равна $e \frac{d}{d x} [x]$ .

$e \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $e$ на $1$ .

$e$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \sin (u) \frac{1}{e} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} \int \frac{\sin (u)}{e} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{e}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{e}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e} (\frac{1}{e} \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{e}$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e e} \int \sin (u) d u$

Этап 7.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e} \int \sin (u) d u$

Этап 7.3

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1} e^{1}} \int \sin (u) d u$

Этап 7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Этап 7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} \int \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$

Этап 9

Перепишем $\frac{x \sin (e x)}{e} - \frac{1}{e^{2}} (- \cos (u) + C)$ в виде $\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (u)}{e^{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $e x$ .

$\frac{x \sin (e x)}{e} + \frac{\cos (e x)}{e^{2}} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{e} x \sin (e x) + \frac{1}{e^{2}} \cos (e x) + C$