Математический анализ Примеры

$\int x \ln (x) x d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x \ln (x) d x$

Этап 1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{1} \ln (x) d x$

Этап 1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 1} \ln (x) d x$

Этап 1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x)$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x)$

Этап 5.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C$

Этап 7.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$

Этап 7.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C$