Математический анализ Примеры

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Этап 1.1.3

Перепишем многочлен.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y^{2}$ и $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Этап 1.4

Упростим.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Этап 2.2

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Этап 2.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Этап 2.6

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Этап 2.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Этап 2.8

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Этап 2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Этап 2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Этап 6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$