Математический анализ Примеры

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

Этап 1

Поскольку $5.3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5.3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

Этап 2

Умножим $5.3$ на $5$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

Этап 3

Пусть $u_{1} = w t$ . Тогда $d u_{1} = w d t$ , следовательно $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = w t$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $w t$ .

$\frac{d}{d t} [w t]$

Этап 3.1.2

Поскольку $w$ является константой относительно $t$ , производная $w t$ по $t$ равна $w \frac{d}{d t} [t]$ .

$w \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$w \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $w$ на $1$ .

$w$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{1} = w t$ .

$u_{lower} = w \cdot 0$

Этап 3.3

Умножим $w$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{1} = w t$ .

$u_{upper} = w \cdot 5$

Этап 3.5

Перенесем $5$ влево от $w$ .

$u_{upper} = 5 w$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

Этап 4

Объединим $\sin^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{w}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{w}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{w}$ и $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

Этап 7

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{26.5}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

Этап 13

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 13.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 13.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 13.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (5 w)$

Этап 13.5

Умножим $5$ на $2$ .

$u_{upper} = 10 w$

Этап 13.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

Этап 13.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

Этап 14

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

Этап 16

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

Этап 17

Объединим $\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Этап 18

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Найдем значение $u_{1}$ в $5 w$ и в $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

Этап 18.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $10 w$ и в $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

Этап 18.3

Добавим $5 w$ и $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

Этап 19.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

Этап 19.3

Добавим $\sin (10 w)$ и $0$ .

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Вынесем множитель $26.5$ из $26.5$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20.2

Вынесем множитель $2$ из $2 w$ .

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20.3

Разделим дроби.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20.4

Разделим $26.5$ на $2$ .

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20.5

Объединим $13.25$ и $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

Этап 20.6

Вынесем множитель $\frac{13.25}{w}$ из $\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ .

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.7

Умножим на $1$ .

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.8

Вынесем множитель $13.25$ из $13.25$ .

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.9

Разделим дроби.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.10

Разделим $1$ на $13.25$ .

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.11

Разделим $w$ на $1$ .

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.12

Умножим $0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.12.1

Объединим $0.07547169$ и $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.12.2

Объединим $w$ и $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ .

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.13

Перенесем $0.07547169$ влево от $w$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

Этап 20.14

Изменим порядок членов.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

Этап 21

Объединим $\sin (10 w)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$