Математический анализ Примеры

$- \frac{1}{3 \int_{0}^{1} \cos (3 x - 3) d x}$

Этап 1

Пусть $u = 3 x - 3$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 3 x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x - 3$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 3$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Этап 1.3.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x - 3$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Этап 1.5.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$- \frac{1}{3 \int_{- 3}^{0} \cos (u) \frac{1}{3} d u}$

Этап 2

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \int_{- 3}^{0} \frac{\cos (u)}{3} d u}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3 (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$- \frac{1}{\frac{3}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{\frac{3}{3} \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{1 \int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

Этап 4.3

Умножим $\int_{- 3}^{0} \cos (u) d u$ на $1$ .

$- \frac{1}{\int_{- 3}^{0} \cos (u) d u}$

Этап 5

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{\sin (u)]_{- 3}^{0}}$

Этап 6

Найдем значение $\sin (u)$ в $0$ и в $- 3$ .

$- \frac{1}{\sin (0) - \sin (- 3)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{1}{0 - \sin (- 3)}$

Этап 7.2

Вычтем $\sin (- 3)$ из $0$ .

$- \frac{1}{- \sin (- 3)}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (- 3)}$

Этап 7.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{\sin (- 3)}$

Этап 7.4

Переведем $\frac{1}{\sin (- 3)}$ в $\csc (- 3)$ .

$- - \csc (- 3)$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \csc (- 3)$

Этап 7.6

Умножим $\csc (- 3)$ на $1$ .

$\csc (- 3)$

Этап 8

Найдем значение $\csc (- 3)$ .

$- 7.08616739$