Математический анализ Примеры

\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Этап 1

Поскольку производная

\tan (y)

$\tan (y)$ равна

\sec^{2} (y)

$\sec^{2} (y)$ , интеграл

\sec^{2} (y)

$\sec^{2} (y)$ равен

\tan (y)

$\tan (y)$ .

\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение

\tan (y)

$\tan (y)$ в

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ и в

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ .

\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Точное значение

\tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ :

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим число полных оборотов

2 π

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

0

$0$ и меньше

2 π

$2 π$ .

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Этап 2.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.3

Точное значение

\tan (\frac{π}{6})

$\tan (\frac{π}{6})$ :

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.4

Умножим

- - \frac{\sqrt{3}}{3}

$- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.4.2

Умножим

\frac{\sqrt{3}}{3}

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ на

1

$1$ .

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.6

Добавим

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ и

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.7

Умножим

\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ и

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 2.3.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 2.3.7.3

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\frac{2 \sqrt{6}}{3}

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Десятичная форма:

1.63299316 \dots

$1.63299316 \dots$