Математический анализ Примеры

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Этап 1

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $\tan (y)$ в $\frac{π}{6}$ и в $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Этап 2.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Этап 2.3.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.6

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3.7

Умножим $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 2.3.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Десятичная форма:

$1.63299316 \dots$