Математический анализ Примеры

$\int x (a - b x^{2}) d x$

Этап 1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $x (a - b x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x a + x (- b x^{2}) d x$

Этап 1.1.2

Перенесем круглые скобки.

$\int x a + x (- b) x^{2} d x$

Этап 1.1.3

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\int x a - 1 x b x^{2} d x$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\int x a - x b x^{2} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x a - (x^{2} x) b d x$

Этап 1.2.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x a - (x^{2} x^{1}) b d x$

Этап 1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x a - x^{2 + 1} b d x$

Этап 1.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x a - x^{3} b d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x a d x + \int - x^{3} b d x$

Этап 3

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$a \int x d x + \int - x^{3} b d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x^{3} b d x$

Этап 5

Поскольку $- b$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- b$ из-под знака интеграла.

$a (\frac{1}{2} x^{2} + C) - b \int x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$a (\frac{1}{2} x^{2} + C) - b (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{2} a x^{2} - b (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $a$ .

$\frac{a}{2} x^{2} - b (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{a}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{2} - b (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{a x^{2}}{2} - b \frac{x^{4}}{4} + C$

Этап 7.2.4

Объединим $\frac{x^{4}}{4}$ и $b$ .

$\frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{4} b}{4} + C$

Этап 8

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{4} x^{4} b + C$