Математический анализ Примеры

$\int x (1 + \sqrt{x}) d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (1 + x^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot 1 + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.2

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\int 1 \cdot x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\int x + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

Этап 2.8

Добавим $2$ и $1$ .

$\int x + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$