Математический анализ Примеры

$\int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + \int 2 d u)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C + 2 u + C)$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{2} (e^{u} + 2 u) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 (x^{2})) + C$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (2 x^{2}) + C$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x^{2}}}{2} + x^{2} + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} e^{x^{2}} + x^{2} + C$