Математический анализ Примеры

$\int x \log_{5} (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \log_{5} (x)$ и $d v = x$ .

$\log_{5} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\log_{5} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Этап 2.2

Объединим $\log_{5} (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (5)} d x)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} d x)$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x)$

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{\ln (5)}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{\ln (5)}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (5)} \int x d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{\ln (5)}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (5) \cdot 2} \int x d x$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \int x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{5} (x)$ .

$\frac{\log_{5} (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{\log_{5} (x)}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (5))} x^{2} + C$

Этап 8.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

Этап 8.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{4 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (5)} + C$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$