Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt{3 x - 4} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{3 x - 4}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{9}$ и ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = 3 x - 4$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{x (2 {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ в виде $\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{2}{9}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{2 x}{9}$ и ${(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{2}{5}$ на $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2.5

Умножим $5$ на $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9.2.6

Чтобы записать $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Этап 9.2.7

Объединим $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Этап 9.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Этап 9.2.9

Объединим $u^{\frac{5}{2}}$ и $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Этап 9.2.10

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Этап 9.2.11

Объединим $- 9$ и $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Этап 9.2.12

Умножим $4$ на $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Этап 9.2.13

Вынесем множитель $9$ из $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Этап 9.2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.14.1

Вынесем множитель $9$ из $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Этап 9.2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Этап 9.2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.16

Чтобы записать $2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.17

Объединим $2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.19

Умножим $15$ на $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Этап 9.2.20

Перепишем $\frac{\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ в виде произведения.

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Этап 9.2.21

Умножим $\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ на $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Этап 9.2.22

Умножим $15$ на $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 4$ .

$\frac{30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 4)}^{\frac{5}{2}}) + C$