Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (t) + \cos (t) d t$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (t) d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (t) d t$

Этап 2

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (t) d t$

Этап 3

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \sin (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ и $\sin (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$- \cos (t) + \sin (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Этап 4.2

Найдем значение $- \cos (t) + \sin (t)$ в $\frac{π}{4}$ и в $0$ .

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (0) + \sin (0))$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (0) + \sin (0))$

Этап 4.3.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (0) + \sin (0))$

Этап 4.3.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- 1 \cdot 1 + \sin (0))$

Этап 4.3.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- 1 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.3.5

Добавим $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (- 1 + 0)$

Этап 4.3.7

Добавим $- 1$ и $0$ .

$0 - - 1$

Этап 4.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.9

Добавим $0$ и $1$ .

$1$